Forum.Gomoku.pl

[Ece]

A tak w ogóle to moje obliczenia to może nie kał, ale zdecydowanie są złe :/ Wyszedłem od pocięcia planszy na 4 części, a chyba powinienem na 8, bo jeszcze przekątne są osiami symetrii dla niektórych otwarć

[templar]

Problem w Twoim rozumowaniu jest taki, Ece, że część otwarć posiada tylko jeden inny symetryczny open (typu A1-H8-O15), niektóre tylko 3 inne symetryczne (typu A8-B8-C8), a niektóre aż 7 innych symetrycznych (typu A1-B2-A2). I jedynie możesz podzielić wszystko przez 2 (bo każdy open ma przynajmniej jeden symetryczny - tak myślę ) - natomiast przez 4 czy 8 nie możesz, bo za dużo w ten sposób wyrzucasz. No i teraz jest problem w zliczeniu tych otwarć, które posiadają dokładnie 1, 3 lub 7 innych symetrycznych.

A co do wspomnianego już dwukrotnie otwarcia A1-H8-O15... ja bym go nie odrzucał. Wiadomo, że białe wygrywają, no ale w schematach jest podobnie - ale to już zupełnie inny problem (kiedy albo czy w ogóle dane otwarcie posiada SW i ile takich jest openów - coś czuję, że można byłoby się za***ać, a tego nie policzyć ).

Pozdrawiam
templar

[Muchal]

Panowie,

policzenie otwarć dla swapa praktycznie rzecz biorąc udało się [prawie,zawsze będą spory] , ale wydaje mi się że prawdziwym wyzwaniem będzie policzenie ile jest otwarć swap2 :):)

życze powodzenia w liczeniu

Pozdro Muchal

[templar]

Hehe... ja się nawet za to nie zabieram.

Pozdrawiam
templar

[Ece]

[ermijo]

[templar]

[utratos]

[arczi]

Wszystkich (powtarzających się) otwarć jest Lo=(15*15) * [(15*15)-1] * [(15*15)-2] (zakładamy że czarny zaczyna, gdyż nie może być otwarć typu, biały-czarny-biały; pomijam też nasz kochany swap2).
//to są bodajże wariacje n elementów, aby ułożyć ciąg o k wyrazach (n=15x15, k=3), ale nie pamiętam, bo prawdopodobieństwo miałem dosyć dawno:)
Na początku możemy ustawić kamień na dowolnym miejscu na planszy czyli jest 15x15 opcji, potem przy drugim kamieniu mamy jedną opcję mniej, a przy trzecim dwie mniej.

Przy policzeniu ilości otwarć ( nie powtarzających się) problem sprowadza się do policzenia w ilu formach występuje dane otwarcie. Jak wiadomo otwarcie może być symetryczne wzglęgem prostych przechodzących przez środek (prostej, równoległej, oraz nachylonej pod kątem 45, oraz 135 stopni). Następnie otwarcie może być przekształceniem względem punktu (środka h8).
Czyli otwarcie może być obrócone o kąt 90, 180, oraz 270. Więc teraz trzeba sprawdzić ile nie powtarzających się form jednego otwarcia istnieje. Należy sprawdzić czy np. jeżeli przekształcimy otwarcie względem punktu, potem symetrycznie, a potem jeszcze inaczej, to czy nie otrzymamy otwarcia bazowego.
//gdyż ilość postaci napewno nie jest permutacją(?) 8 elementowego zbioru, bo właśnie tyle przekształceń istnieje.

Reasumując liczba otwarć w gomoku jest równa L=Lo/p, gdzie Lo jest ilością wszystkich otwarć, natomiast p jest ilością postaci danego otwarcia.

[edit, hmm nie czytałem tego co było wcześniej:P mam nadzieje że się nie powtarzam:) ]

[templar]

[lonewolf]

Proponuję zacząć od mniejszych plansz i spróbować podać liczbę różnych otwarć swap dla plansz o rozmiarach 3,5,7,9,11,13 i 15. Ja mam to policzone do 11x11 na razie, ale nie wiem, czy nie mam gdzieś błędu. Tak, że jeśli ktoś miałby takie wyniki, to niech je tu poda dla porównania. Tylko konkretne liczby, a nie Lx^3/2-54*4, czy tym podobne. Swoje wyniki podam dzisiaj wieczorem, może jeszcze 13x13 policzę. 15x15 dzisiaj raczej nie, bo nie mam czasu.

[ermijo]

Podjąłem się próby ponownego obliczenia teoretycznej ilości wszystkich (różnych od siebie) otwarć w gomoku swap.

Oto moje rachunki:

1. Obliczamy, ile jest możliwych do postawienia na planszy układów 3 elementowch (narazie kolor nie ma tutaj znaczenia, więc załóżmy że będą to same czarne kamienie). Z uwagi, że w układzie tylko jeden kamień może stać na jednym polu, zastosujemy kombinację 3 elementową ze zbioru 225 elementowego C(3,225).
(Analogicznie jak w totolotku, gdzie kolejność nie ma znaczenie, ale każda liczba występuje jeden raz).
Takich kombinacji w przypadku gomoku jest C(3,225) = 1873200.

2. Uwzględniamy teraz, ile jest możliwych otwarć gomoku swap z w/w układu 3-elementowego. Czyli gdzie może stać biały kamień zamiast jednego czarnego. Odpowiedź jest prosta - powstają 3 takie otwarcia (nie wdając się na razie w możliwość ich powielania dzięki ewentualnym symetriom). Tok rozumowania ułatwia poniższy rysunek:


Tym samym liczba wszystkich otwarć (mimo, że każde będzie się powtarzać conajmniej 2 i conajwyżej 8 razy) wyniesie: 1873200*3 = 5619600.

3. Wyodrębnijmy z tej grupy otwarcia:

a.) symetryczne tylko i wyłącznie względem środka planszy h8
b.) symetryczne tylko i wyłącznie względem jednej osi symetrii planszy(przekątne planszy oraz linie H1-H15 i A8 - o8).
c.) symetryczne zarówno względem środka planszy jak i względem jednej z osi symetrii.
d.) niesymetryczne (pozostałe).

4. Policzmy, ile jest jest wszystkich możliwych otwarć z punktu 3.) :
ad.a)

Kod:

(7*7-7)*2

Dla tej grupy, biały kamień musi leżeć na h8, zatem liczymy ilość możliwości obstawień czarnych nie licząc pól leżących na osiach symetrii, jest ich (7*7-7)
*2 - lewa czesć planszy i prawa
Razem: 84.

ad.b)

Kod:

4*14*(C(2,14) + [14*14-14]*2)

tłumczę kolejne operacje:
4* - tego typu otwarcia mnożymy przez 4, ze względu na to, że obracanie ich co 90 stopni oraz odwracanie typu góra - dół i lewo - prawo pokrywają się
14* - w tych otwarciach biały kamień musi leżeć na jednej z osi symetrii za wyjątkiem pola
H8.
C(2,14) - liczba otwarć, w których wszystkie kamienie leżą na jednej z osi symetrii planszy
wyłączając otwarcia równocześnie będące symetryczne względem środka planszy.
(14*14-14) - ilośc możliwości rozstawienia pozostałych czarnych kamieni dla zadanego pola białych
*2 - ze względu na symetrie względem pzrekątnych oraz względem lini h1-h15 : a8-o8

Razem: 25480.

ad.c)

Kod:

(14*2)

- dwa ukosy "lewy i prawy"
Razem: 28

ad.d)

Kod:

5619600 - 25480 - 84 - 28 = 5594008

5.) Usuwamy powtarzające się otwarcia mając na uwadze:
ad a.) jeden układ można przedstawić na 4 sposoby
ad b.) jeden układ można przedstawić na 4 sposoby
ad c.) jeden układ można przedstawić na 2 sposoby
ad d.) jeden układ można przedstawić na 8 sposobów

Redukcja odbywa się poprzez dzielenia a następnie sumowanie tych operacji:

Kod:

5594008/8 + 25480/4 + 84/ 4 + 28/2 = 699251+6370+21+14 = 705656.

Ostateczny wynik "705656" stanowi ilość niepowtarzalnych otwarć w gomoku na zasadach swap. Liczba ta, choć teoretycznie wysoka, w praktycznym zastosowaniu nie odgrywa wielkiej roli z powodu charakteru i zasad gry gomoku a dokładniej z powodu jakości otwarć, która będzie nieznana, dopóki nie rozwiąże się w pełni gry gomoku swap.
Z drugiej strony, mamy pogląd, że więcej niż 705656 odrębnych otwarć na planszy 15x15 nie istnieje

Pozdrawiam - Ermijo.

[utratos]

[lonewolf]

Dobra Panowie, konkretne pytanie: ile jest unikalnych otwarć swap na planszy 3x3?

[ermijo]

C(2,14) to jest tzw. kombinacja 2 elementowa ze zbioru 14 elementowego. Wzór ten liczy ilość możliwych ułożeń 2 kamieni czarnych w przypadku, gdy pole(jedno z 14)jest zadane. Innymi słowy: tak jak w totolotku, gdyby losowano 2 liczby (czarne kamienie) ze zbioru 14 możliwych, gdzie kolejność nie ma oczywiście żadnego znaczenia, dlatego - kombinacja.

Cytat:

Oś zawiera 15 pól, kładę pierwszy biały kamień -15 możliwości

nie 15 tylko 14 ponieważ, nie można uwzględnić h8- wtedy byłby open symetryczny jednocześnie względem środka planszy.

Cytat:

14 możliwości dla drugiego kamienia czarnego, 13 możliwości dla trzeciego

nie rozumie Twojego toku rozumowania, ale pi razy oko wydaje mi się, że wtedy(nie licząc błędu który napisałem wyżej)należało by podzielić tę liczbę przez 4, ponieważ używasz prostej permutacji czyli będą występować powtórzenia. Kombinacja, której ja używam, nie uwzględnia powtórzeń.

Trudno mi teraz ocenić, gdzie się pomyliłeś(możliwe że ja tez się pomyliłem) ale tak na oko 2716 to chyba zdecydowanie za mało otwarć symetrycznych względem osi - WSZYSTKICH nawet tych powtarzających się ze względu na symetrię.